분수방정식과 무연근, 정석의 오류

전에 방정식의 원론적 의미, 방정식의 해의 원론적 의미, 방정식의 해를 찾는법

방정식을 함수로 해석하는 방법

무리방정식에서 무연근이 발생하는 원리

까지 설명하고

 

분수방정식에서 무연근이 발생하는 원리는

다음에 설명한다고 해놓고 설명하지 않았었죠

 

혹시 안읽어보신 분이라면 이 글의 전편격쯤 되는 글을 읽어보셨으면 좋겠습니다.

이 밑에서 이야기하고있는것중에 생략된 부분들이 여기에 다 들어있거든요

 

'방정식을 함수로 해석하기 / 분수방정식과 무리방정식에서 무연근이 발생하는 원리' 바로가기

 

아무튼 그 다음 이야기를 수식입력창과 함께 해보려고 합니다

준비되셨나요?

출발!

 

 

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이과생이 되어 수2를 공부하면서, 가장 처음 배우는 것이 방정식과 부등식파트입니다.

방정식과 부등식의 의미를 다시 짚어보고, 중학교1학년때부터 4년간 풀어왔던 다항방정식이 아닌

다른 모양의 방정식도 풀어보자! 하는, 누구의 말을 따르면 '순수 이과 전용 파트' 이지요

 

그중 무리방정식의 이야기는 지난시간에 했고,

분수방정식의 이야기를 하려 합니다.

 

이봇의 쓰레기통 - 뇌통 - 고등수학에 보시면

 

방정식이란 무엇인가에 대해 설명을 써 논것이 있으니 읽고 오시는 것이 좋습니다.

 

 

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분수방정식을 푸는 방법

 

분수방정식은 무리방정식과 마찬가지로 '다항방정식으로 고쳐 풀게 됩니다'

왜냐하면, 인간이 풀 수 있는 방정식은 '다항방정식'밖에 없거든요

그래서 울며 겨자먹기로 분수방정식을 다항방정식으로 바꿔야합니다.

 

바꾸려면 어떻게 하느냐?

분수방정식의 정의는, 분수식=0 꼴의 방정식이죠.

분수식이란 분모에 x에 관한 식이 있는 것을 말합니다.

 

즉, 분수방정식은 분모에 x가 있는 방정식을 말합니다.

이 것을 다항방정식으로 바꾸려면?

그렇죠 분모의 최소공배수를 곱해서 분모를 싹다 없애야됩니다.

 

그런데,

주의할 점이 있습니다.

지난시간에 언급한 무리방정식과 마찬가지로,

분수방정식을 다항방정식으로 바꾸면 '무연근이 나올 수 있어요.'

(한가지 주목하자면, 무연근이 나올 '수' 있습니다. 무조건 나오지 않습니다. 그 이유를 중점적으로 설명합니다)

 

왜 나올까요?

문제를 하나 풀어보도록 하겠습니다.

 

 

 

심심들해보셨나요?

저번시간에 말한 것처럼

방정식의 해란, 대입해서 등식을 성립시키는,

즉 양변의 값을 같도록 만드는 x값을 방정식의 해라고합니다.

 

그러므로 방정식의 해인지 아닌지 판단하기 위해서는

미심쩍은 값을 직접 방정식에 대입해보고

성립한다면 해, 성립하지 않으면 해가 아니라고 할 수 있습니다.

 

한편 심심하면 해보랬으니 진짜 해보죠.

-1을 대입하면 분모가 0이 되버리기 때문에

수학에서 정의조차 할 수 없는 상태가 됩니다.

이는 등식을 성립시키는 상태가 아니고, 따라서 해가 아닙니다.

 

엥, 기껏 해라고 구해놨더니 해가 아니랍니다.

 

왜그러죠?

 

왜그러죠?

 

 

 

 

 

간단하게 말하자면

양변에 식을 곱하는 건 "위험한"행동이기 때문입니다.

 

자기의 소신을 지키는 발언을 하면 사람들이

"위험한" 발언을 한다고 하죠.

 

바로 그겁니다.

뜻은 약간 다르지만. ㅋㅋ

방정식의 양변에 식을 곱하는 것은 그 타당성을 한번쯤 생각해볼 문제입니다.

 

원칙적으로는, 등식의 성질에 따라

등식의 양변에 어떤 수를 곱하든지간에 항상 성립합니다.

 

a=b 라면 ac=bc 이다. 라는 말은 다들 들어보셨을거에요.

이는 식의 세계에서도 똑같이 성립합니다.

A=B라면 AC=BC이다.

 

그런데, 역과정이 성립하나요?

ac=bc 라면 a=b 가 성립하냐구요

아닐껄요?

왜요? 맞지않냐구요?

'등식의 양변을 0이아닌 같은 수로 나눠도 등식은 성립한다'라구요?

그래요. 직접 말했네요.

ac=bc 일때 c=0이라면 등식의 양변을 c로 나눌 수 없게 됩니다.

그니까 AC=BC 라고해서 A=B라고 섣불리 말할 수 없게 되지요.

 

여기서의 키워드는 바로 0이라 할 수 있습니다.

 

 

 

다음 예시를 봅시다.

 

 

 

앞서 언급한 방정식을 푸는 기본 원리입니다.

AB=0이면 A=0 or B=0

 

따라서 x=1 or x=2 라는 것을 손쉽게 알 수 있죠.,

다시 표현하면, 등식을 성립시키기 위해서는 x가 1이거나, x가 2이면 된다는 소립니다.

x=1과 x=2를 동시에 만족시켜도 되지만, 그런 x는 존재하지 않는군요

 

아무튼 그렇습니다.

그럼 다음 문장은 성립할까요?

 

 

 

네 성립합니다!

등식의 양변에는 같은 수를 곱해도 되기때문에

좌변과 우변에 각각 (x-3)을 곱했다고 치면, 우변은 0때문에 곱하나 마나하게 되죠.

그래서 (x-1)(x-2)(x-3)=0 이 성립합니다.

 

근데 뭐가문제냐구요?

 

 

 

x=1, x=2, x=3 이란 해가 되죠?

오잉?

아까전에 해를 구했던거 기억나세요?

(x-1)(x-2)=0 말이죠.

 

해가 x=1, x=2 이거아니었나요?

 

분명히, (x-1)(x-2)=0 이면 (x-1)(x-2)(x-3)=0 이 성립합니다.

그러나, 양변에 (x-1)을 곱한 나중의 방정식의 해는

처음 방정식에서는 볼 수 없었던 해가 추가되었습니다.

 

왜그렇죠?

 

방정식을 푸는 기본 원리를 다시 생각해봅시다.

AB=0 이면 A=0 or B=0

 

바로 이것을 활용하기 위해서 우리는 기를 쓰고 다항식을 인수분해 하는것이죠.

인수분해해놓으면 각각의 식이 0이 되게 하는 x값이 바로 방정식의 해가 되니까요.

그렇죠?

 

여기서 중요한 것은 '인수분해한 식이 0이되게 하는 x값이 방정식의 해'이다. 란 소리입니다.

그러므로 '0이 될 수 있는 식을 곱하면 해가 추가된다'

라는 소리와 같은 말입니다.

이해가 가시나요?

 

(x-3) 을 곱했더니

x-3  = 0 을만족시키는 값. x=3 이란 값이 해로 추가되었지않습니까?

네 그래요

 

0이 될 수 있는 값은 곱하기 조심스럽다

 

이것이 테마입니다.

 

방정식의 양변에 0이 될 수 있는 값을 곱하면 해가 늘어난다.

고, 굳이 양변에 곱하면서 해를 늘리지 않으려면, 그대로 유지하려면

그 곱하는 식이 0이면 안된다는 조건을 제시해주어야합니다.

(예외현상은있습니다. 이미있는인수를 또곱하면 그럴필요가없죠. 이해되시죠?)

 

뭔소리냐구요?

다음 사례를 보시죠.

 

 

 

양변에 0이 될 수 있는 값을 곱하면 해가 늘어나므로

그건 0이 안될놈이야! 라고 말해준다면, 음음 그래그래 해는 똑같구나

라고 이야기할 수 있다는거죠.

 

그렇죠?

0이 아니라는 이야기가 있으면, 맘대로 곱할 수 있다.

아주 속이 시원해지는 이야기입니다.

 

뭔가 생긴게 험악하게 생긴 사람을 친구가 데려올때는 잔뜩 긴장하지만

친구가 "얘는 그런애 아냐!"라고 외치면

긴장을 풀게되죠. 비유가 적절치못했나요? ㅠㅠㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

 

아무튼

 

 

"그래서 이게 분수방정식이랑 뭔상관이냐구요?"

 

다음을 보시죠.

 

아까 풀었던 문제입니다.

 

 

 

그냥 분수방정식이네요.

숨겨진 조건은 개뿔 뭐가있냐구요?

수학에서 분모가 0이되면 무슨일이벌어지죠?

그걸 생각을 안하려고하기때문에, 즉 정의하지 않기 때문에 분모는 0이되어선 안됩니다.

뭐가됐든 우선 분모는 0이되면 안되요.

그럼 큰일나요!!

 

즉, 분수가 제시되었다는건

분모는 절대 0이아닙니다. 란 소리를 속에 가지고 있다는 소립니다.

 

 

 

그렇군요.

분모는 0이되어선 안되는 거였군요.

음 그래그래요

학교선생님도 그랬어요. 무연근은 분모를 0이되게 하는 근이라구요.

 

그래요. 다좋아요.

근데 0이 되어선 안된다구요?

어디서 비슷한 소리를 들은것 같지 않나요?

 

"0이 아니라는 이야기가 있으면, 그거 곱해도 해는 안바뀐다"

 

 

올?ㅋ

 

 

분모가 0이아니란 조건이 있기 때문에,

그거를 곱해도 해가 바뀌지않는군요

그거를 이용해서 다항방정식으로 바꿀 수 있었군요!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

엥?

근데 뭔가 좀 이상합니다.

해가 바뀌지 않는다고 했는데,

실제로 해보면 무연근이 나오잖아요

뭐죠?

 

예끼 이사람아!

그건 이미 예정된 결과입니다.

보시라구요!

 

 

 

0이 아니란 조건이 없었따면

해는 그대로 늘어나고 말죠?

 

그 후에 x-3≠0 을 이용해서 "해를 제거하고 난 남은것"들이

"원래 해와 같았죠?"

 

네바로그거에요!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

이사람들아!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

분수를 대할땐, 분모는 0이되어선 안된다라는 조건이 숨어있다는 사실을 깨달아야한다고 햇죠.

그치만 말그대로

그 조건은 "숨어있습니다."

분모 자리에 있기 때문에 0이되어선 안된다.이지, 문제자체에 어디 누가 써주지 않죠.

 

근데 그상태에서 그거믿고 곱해서 분모를 없애버리면요?

처음 숨어있던 조건을 사람들이 기억이나 할까요?

 

 

 

곱해놓고 처음 조건을 잊어버리게되고,

다항방정식 자체에는 조건이 없으므로, 아무 생각없이 그걸 풀면 무연근이 나올 '수'도 있는겁니다.

 

 

 

제대로 된 풀이는 초기 조건을 기억함으로써, 다항방정식으로 바꾸고난다음에

초기조건을 만족하지 않는 근은 지워버리는거죠.

 

 

 

이게 결국에는 분모를 0으로 하는 값을 지우는 것이기 때문에

무연근은 분모를 0으로 하는 x값

무연근은 분모를 0으로 하는 x값

하고 외우게됩니다.

 

그렇죠.

 

그럼 마지막 대단원인 "왜 나올'수'도 있어요. 에요? 무조건 나오는게 아니구요?"

"건방지게 정석의 오류는 모에요?"

 

를 다뤄보도록하겠습니다.

물론 다음시간에요.

너무피곤하궁ㄴ요 ㅋㅋㅋㅋ

저도 공부할게많답니다.